Ο Γρίφος της Κυριακής: “Διανομή Περιουσίας”

Carlo9

(Α) Τα Μαργαριτάρια και οι Κόρες του Βασιλιά

Ένας βασιλιάς άφησε στις κόρες τους έναν ορισμένο αριθμό μαργαριταριών και διέταξε να γίνει η μοιρασιά με τον ακόλουθο τρόπο: στην μεγαλύτερη θα αντιστοιχούσε  ένα μαργαριτάρι  συν το ένα έβδομο από αυτά που παρέμεναν. Η δεύτερη  θα έπαιρνε δυο μαργαριτάρια και το ένα έβδομο των υπολοίπων. Η τρίτη θα λάμβανε τρία μαργαριτάρια και το ένα έβδομο από αυτά που έμεναν.Και ούτω καθεξής για τις άλλες κόρες .Οι νεώτερες κατέφυγαν στον δικαστή διαμαρτυρόμενες  ότι με αυτό το περίπλοκο σύστημα  θα αδικούνταν κατάφωρα.Ο δικαστής – λέει η παράδοση – που ήταν καλός στην επίλυση προβλημάτων, απάντησε γρήγορα ότι οι προσφεύγουσες είχαν άδικο και ότι η διαίρεση που πρότεινε ο βασιλιάς ήταν δίκαιη και τελεία. Ο δικαστής είχε δίκιο. Μόλις έγινε η διαίρεση, κάθε μια από τις αδελφές έλαβε τον ίδιο αριθμό μαργαριταριών.

Πόσα ήταν τα μαργαριτάρια και πόσες κόρες είχε ο βασιλιάς;

(Β) Η Διανομή της Περιουσίας

Ένας  πατέρας αισθανόμενος να πλησιάζει το τέλος της επίγειας ζωής του μοιράζει

στα παιδιά του  την περιουσία του ως εξής :

Το πρώτο παιδί  παίρνει εκατό νομίσματα  και το ένα δέκατο  από τα υπόλοιπα νομίσματα.

Το δεύτερο παιδί παίρνει διακόσια νομίσματα και το ένα δέκατο  από  τα υπόλοιπα νομίσματα.

Το τρίτο παιδί παίρνει τριακόσια νομίσματα και το ένα δέκατο από τα υπόλοιπα νομίσματα.

Το τέταρτο παιδί παίρνει τετρακόσια νομίσματα και το ένα δέκατο από τα  υπόλοιπα νομίσματα. κ.ο.κ.

Στο τέλος βλέπουν ότι η περιουσία έχει μοιραστεί εξίσου σε όλα τα παιδιά. Πόσα ήταν τα νομίσματα, πόσα  ήταν τα παιδιά που είχε, και  πόσα νομίσματα πήρε το καθένα;

9 σχόλια

  3. Κώστας Λαμπρινίδης

    Έφτιαξα και εγώ….!!!!

    Ο 1ος παίρνει 1000 και το ένα ένατο από τα υπόλοιπα, ο 2ος 2000 και το ένα ένατο από τα υπόλοιπα, ο 3ος 3000 και το ένα ένατο από τα υπόλοιπα κλπ…

    Πόσα χρήματα, πόσοι τα μοιράστηκαν ;

  4. ΚΔ

    A.Aχικά χ
    1ο 1+1/7(χ-1) και μένουν (6χ-6)/7
    2ο 2+1/49(6χ-20)
    Πρέπει (χ+6)/7=(6χ+78)/49
    χ=36 και 6 κόρες
    Β.Aχικά χ
    1ο 100+1/10(χ-100) =χ/10+90 και μένουν 9χ/10-90
    2ο 200+1/10(9χ/10-290)=9χ/100+171
    Πρέπει χ/10+90=9χ/100+171
    χ=8100 και 9 παιδιά

  5. Carlo de Grandi

    @Κώστας Λαμπρινίδης
    Λύση:
    Το σύνολο των χρημάτων είναι 64.000€ και τα μοιράστηκαν 8 άτομα, από τα οποία το καθένα πήρε 8.000€. Έστω το μερίδιο του κάθε παιδιού ότι είναι x και όλη η περιουσία είναι y,τα μερίδια των παιδιών είναι:
    Του πρώτου x=[1.000+(y-1.000)]/9 (1)
    Του δευτέρου x=[2.000+(y-x-2.000)]/9 (2)
    Του τρίτου x=[3.000+(y-2x-3.000)]/9 (3)
    …….
    ……..
    κ.ο.κ
    Η διαφορά μεταξύ δυο διαδοχικών δεξιών μελών από τις παραπάνω εξισώσεις είναι
    [1.000-(x+1.000)]/9
    Αν αυτή η διαφορά ισούται με μηδέν, τότε έχουμε την εξίσωση:
    [1.000-(x+1.000)]/9 ======> (9.000-x-1.000)/9 =====> x=8.000€ (4)
    Αντικαθιστούμε την (4) στην (1) κι’ι έχουμε:
    x=[1.000+(y-1.000)]/9 ======> 8.000=[1.000+(y-1.000)]/9 ======>
    8.000=(9*1.000+y-1.000)/9 ======> 8.000*9=9*1.000+y-1.000 =======>
    72.000=9.000+y-1.000 ======> 72.000=8.000+y ======> y=72.000-8.000 ======> y=64.000€

  6. michalis zartoulas

    Α) Αν x τα μαργαριτάρια, τότε:
    Η πρώτη πήρε 1+(x-1)/7=(x+6)/7.
    Έμειναν x-(x+6)/7=(6x+6)/7 μαργαριτάρια.
    Η δεύτερη πήρε 2+(6x+6)/49=(6x+104)/49.
    Πρέπει:(x+6)/7=(6x+104)/49=>x=62 μαργαριτάρια.
    Β) 100+(x-100)/10=(x+900)/10 ο Α
    μένουν x-(x+900)/10=(9x-900)/10
    200+(9x-900)/100=(9x+19.100)/100 o B
    Άρα (x+900)/10=(9x+19.100)/100=>x=8.100 νομίσματα.
    Ο καθένας πήρε 90 νομίσματα και τα παιδιά ήταν 9.

  7. Carlo Συντάκτης άρθρου

    @michalis zartoulas
    Α. Τα μαργαριτάρια δεν είναι 62.
    Β. Ο καθένας πήρε 900 νομίσματα όχι 90 νομίσματα.

  8. Carlo Συντάκτης άρθρου

    Λύσεις:
    (Α) Τα Μαργαριτάρια και οι Κόρες του Βασιλιά
    Οι κόρες είναι 6 και τα μαργαριτάρια 36, οπότε το μερίδιο κάθε κόρης είναι 6 μαργαριτάρια. Έστω ότι το μερίδιο της κάθε κόρης είναι x και όλα τα μαργαριτάρια είναι y. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
    x=1+(y-1)7 (1)
    x=2+(y-x-2)/7 (2)
    x=3+(y-2x-3)/7 (3)
    ……………………
    ………………….. (n)
    Η διαφορά μεταξύ δυο διαδοχικών δεξιών μελών από τις παραπάνω εξισώσεις είναι:
    1-(x+1)/7
    Αν αυτή η διαφορά ισούται με 0 τότε έχουμε:
    1-(x+1)/7=0 —-> 7-x-1=7*0 —-> 6-x=0 —-> x=6
    Αντικαθιστούμε τη τιμή του «x» στην (1) κι’ έχουμε:
    x=1+(y-1)7 —-> 6=1+(y-1)/7 —-> 7*6=7+y-1 —-> 42=6+y —-> y=42-6 —-> y-36
    Από το βιβλίο του Malba Tahan, ψευδώνυμο του Βραζιλιάνου μαθηματικού Julio Cesar de Mello e Souza με τίτλο: «Ο άνθρωπος που μετρούσε – The Man Who Count», 1949.

    (Β) Η Διανομή της Περιουσίας
    Το μερίδιο του κάθε παιδιού είναι x και όλη η περιουσία είναι y,τα μερίδια των παιδιών είναι:
    Του πρώτου: x=100+(y-100)/10 (1)
    Του δευτέρου: x=200+(y-x-200)/10 (2)
    Του τρίτου: x=300+(y-2x-300)/10 (3)
    ……..
    ……..
    κ.ο.κ
    Η διαφορά μεταξύ δυο διαδοχικών δεξιών μελών από τις παραπάνω εξισώσεις είναι:
    100-(χ+100)/10 (4)
    Αν αυτή η διαφορά ισούται με μηδέν, τότε έχουμε την εξίσωση:
    100-(χ+100)/10=0 ==== 100*10-χ-100=0*10 ==== 1.000-χ-100=0 ==== χ=1.000-100 === χ=900 (5)
    Αντικαθιστούμε την (5) στην (1) κι’ έχουμε:
    x=100+(y-100)/10 ==== 900=100+(y-100)/10 ==== 900=(100*10+y-100)/10 ==== 900*10=100*10+y-100 ==== 9.000=1.000+y-100 ==== 9.000=900+y ====
    y=9.000-900 === y=8.100 (6)
    Επομένως η περιουσία ήταν 8.100 νομίσματα και οι γιοί ήταν 9, και κάθε γιος πήρε από 900 νομίσματα
    Πηγή:
    Το ανωτέρω πρόβλημα προέρχεται από το βιβλίο του Leonard Eüler με τίτλο:
    «Introduction to the art of calculation, for use in the high schools of the Imperial Academy of Sciences of Saint Petersburg – Εισαγωγή στην τέχνη του υπολογισμού, για χρήση στα γυμνάσια της αυτοκρατορικής Ακαδημίας Επιστήμων της Αγίας Πετρούπολης». Έκδοση 1734 με 1735.

    Ένα ακόμα με την ίδια φιλοσοφία λύσης από το βιβλίο του Leonardo (di Pisa) Fibonacci, (1170-1230) με τίτλο: «Liber Abbaci» – «Εγχειρίδιο Αριθμητικής».
    Η Κληρονομιά*
    Ένας πατέρας αισθανόμενος να πλησιάζει το τέλος του μοίρασε την περιουσία του ως εξής:
    Στο μεγαλύτερο του γιο έδωσε ένα σόλδιο (αργυρό νόμισμα) και το1/7 από αυτά που θα περισσέψουν.
    Στο δεύτερο γιό του έδωσε 2 σόλδια και το1/7 από αυτά που θα περισσέψουν.
    Στο τρίτο γιο του έδωσε 3 σόλδια και το1/7 από αυτά που θα περισσέψουν. κ.ο.κ.ε.
    Έτσι λοιπόν κάθε γιος θα παίρνει ένα σόλδιο περισσότερο από το προηγούμενο και το 1/7 από αυτά που θα περισσέψουν. Τέλος ο τελευταίος γιος του θα πάρει ότι περισσέψει. Με αυτό το τρόπο η περιουσία θα έχει μοιρασθεί δίκαια και όλοι θα έχουν πάρει τα ίδια χρήματα. Πόσους γιους είχε και πόσα χρήματα ήταν η περιουσία που τους μοίρασε;
    *Το ανωτέρω πρόβλημα προέρχεται από το βιβλίο του Leonardo (di Pisa) Fibonacci (1170-1230) «Liber Abbaci = Βιβλίο Άβακος= Εγχειρίδιο Αριθμητικής , α΄ έκδοση 1202, , β΄ έκδοση, 1228, αποτελούμενο από 15 κεφάλαια.».
    Λύση:
    Ο πατέρας είχε 6 γιους, που ο καθένας παίρνει από 6 σόλδια, και η περιουσία του ανερχόταν σε 36 σόλδια. Έστω «n» η περιουσία του πατέρα.
    Ο πρώτος γιος του πήρε:
    1+(n-1)/7=(7+n-1)/7=(6+n)/7 σόλδια (1)
    Ο δεύτερος γιος του πήρε:
    [2+[n-(1+(n-1)/7)-2]/7=[2+[n-(7+n-1)/7)-2]/7=
    [2+(7n-7-n+1)/7)-2]/7=[2+(7n-7-n+1)/7)-7*2]/7=
    [2+(7n-7-n+1)-14]/49=(2*49+7n-7-n+1-14)/49=
    98+6n-20)/49=(6n+78)/49 σόλδια (2)
    Σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος που λέει ότι «…η περιουσία θα έχει μοιρασθεί δίκαια και όλοι θα έχουν πάρει τα ίδια σόλδια» έχουμε την εξίσωση:
    (6+n)/7=(6n+78)/49 ===49*(6+n)=7*(6n+78) === 294+49n=42n+546 ===
    49n-42n=546-294 === 7n=252 === n=252/7 === n=36 σόλδια
    *Σόλδιο = Ιταλικό μεσαιωνικό αργυρό νόμισμα.

Απάντηση