(Α) Η Δεξαμενή Ι
Δυο βρύσες/βάνες Α και Β όταν λειτουργούν ταυτόχρονα , γεμίζουν μια δεξαμενή σε 2 ώρες. Όταν λειτουργούν χωριστά , η μια βρύση χρειάζεται 3 ώρες περισσότερο χρόνο απ την άλλη για να γεμίσει τη δεξαμενή. Να βρείτε το χρόνο που χρειάζεται κάθε βρύση για να γεμίσει τη δεξαμενή μόνη της.
(Β) Η Δεξαμενή ΙΙ
Οι κρουνοί (βρύσες/βάνες) Κ1 και Κ2 παρέχουν νερό σε μια δεξαμενή Δ, ενώ ο κρουνός Κ3 την αδειάζει Η παροχή του Κ1 είναι 3 λίτρα το δευτερόλεπτο, και η παροχή του Κ2 είναι 1,50 λίτρα το δευτερόλεπτο. Η παροχή του Κ3 είναι 2 λίτρα το δευτερόλεπτο και, όταν η δεξαμενή είναι γεμάτη, την αδειάζει σε 30 λεπτά. Εάν η δεξαμενή περιέχει νερό κατά τα 2/3 της και ανοίξουμε ταυτόχρονα και του τρεις κρουνούς Κ1, Κ2, και Κ3 πόσος χρόνος απαιτείται για να γεμίσει;
(α) 6 λεπτά της ώρας, (β) 8 λεπτά της ώρας, (γ) 10 λεπτά της ώρας, (δ)12 λεπτά της ώρας
(Γ) Τι Κοινό;
Και ένας γρίφος του ενός λεπτού, για ένα διάλειμμα από την λύση των ανωτέρω γρίφων.
«Τι κοινό έχουν ένας μαθηματικός και μια ξανθιά;»
Α) 1/(x+3)+1/x=1/2
x=3ώρες η μία.
y=6 ώρες η άλλη.
Β) Η δεξαμενή χωράει 2×1.800=3.600 λίτρα, άρα πρέπει να γεμίσουν ακόμη 3.600-3.600×2/3=1.200λίτρα, όμως κάθε λεπτό γεμίζουν 60x(3+1,5-2)=150 λίτρα. Οπότε χρειάζονται 1.200/150=8 λεπτά της ώρας.
Γ) αφήνω για το δημοτικό, είναι έμπνευσης.
Γ) Είναι εκπαιδευτικοί και οι δύο
@ΜΙΧΑΛΗΣ ΖΑΡΤΟΥΛΑΣ
(Γ) Όχι, πολύ οφθαλμοφανές για να είναι αυτή η απάντηση. Προσπάθησε πάλι.
@ Carlo
Συμφωνώ.
A.Σε 1h οι Α,Β γεμίζουν τη μισή δεξαμενή. Αν σε xh η Α τη γεμίζει μόνη και η Β σε x+3, τότε σε 1h ώρα η Α γεμίζει το 1/x και η Β το 1/x+3. Άρα 1/x+1/x+3=1/2, x^2-x-6=0, x=3.
B.χωρητικότητα=3600l, η Κ1 τη γεμίζει σε 1200΄΄, η Κ2 σε 2400΄΄, άρα σε 1΄΄ η Κ1 γεμίζει το 1/1200, η Κ2 το 1/2400 και η Κ3 αδειάζει το 1/1800. Αν x τα s και με τις 3 θα είναι:
x/1200+x/2400-x/1800=1/3, x=480΄΄=8min.
@ΜΙΧΑΛΗΣ ΖΑΡΤΟΥΛΑΣ
Μετά την λύση των μαθητών και οποιουδήποτε άλλου ο συντάκτης πρέπει ν’ αναρτά τη λύση για αντιπαραβολή της ορθότητας της λύσης.
Λύσεις:
(Α) Η Δεξαμενή Ι
Κάθε βρύση θα χρειαστεί 3 ώρες και 6 ώρες αντίστοιχα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
1/(x+3)+1/x=1/2 (1)
Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα κι’ έχουμε:
1/(x+3)+1/x=1/2 === (x+x+3)/x*(x+3)=1/2 === 2*(2x+3)=x(x+3) ===
4x+6=x^2+3x === x^2-4x+3x-6=0 === x^2-x-6=0 (2)
x= [-β±sqrt[Δ]]/2*α ==== x= [-β±sqrt[β^2-4αγ]]/2*α ===
x=[1±sqrt[(-1)^2-4*1*(-6)]]/2*1 === x=[1±sqrt[1+24]]/2 ===
x=[1±sqrt[25]]/2 === x= (1±5)/2
x1=(1+5)/2 ==== x1=6/2 === x1=3 ώρες η βρύση Α
Επόμένως η βρύση Β θα χρειαστεί:
x2=x1+3 === x2=3+3 === x2=6 ώρες
Επαλήθευση:
1/(x+3)+1/x=1/2 === 1/(3+3)+1/3=1/2 === 1/6+1/3=1/2 ===
(1+2)/6=1/2 === 3/6=1/2
(Β) Η Δεξαμενή ΙΙ
Για να γεμίσει η δεξαμενή απαιτούνται 8 λεπτά της ώρας.
Η δεξαμενή χωράει 3.600 λίτρα νερό.
Η παροχή του Κ1 με 3 λίτρα το δευτερόλεπτο είναι:
Κ1=3.600’’:3=…1.200 lt
Η παροχή του Κ2 με 3 λίτρα το δευτερόλεπτο είναι:
K2=3.600’’:1.50=2.400 lt
Σύνολο νερού από Κ1 και Κ2:
1.200+2.400=3.600 lt
Η παροχή του νερού της Κ3 όταν την αδειάζει σε 30 λεπτά είναι:
Κ3=3.600lt:30’=120lt/1’
Σε χρόνο x η δεξαμενή είναι γεμάτη κατά τα 2/3, ήτοι:
(2/3)*3.600=2.400 lt
Σε ένα δευτερόλεπτο, ανοίγοντας και τις τρεις,γεμίζει 4,5 λίτρα και αδειάζει 2, άρα γεμίζει 2,5 λίτρα (4,50-2=2,50 lt) το δευτερόλεπτο ή αλλιώς, 150 (2,50*60 = 150 lt) λίτρα το λεπτό
Επομένως για να γεμίσει η δεξαμενή απαιτούνται ακόμα
1.200 lt. Πόσος χρόνος απαιτείται για να συμπληρώση το
1.200 lt;
1.200:15=8 λεπτά.
Πηγή: Α.Σ.Π. – Διαγωνισμός για την πλήρωση θέσεων Δημοσίων Υπηρεσιών και Νομικών Προσώπων του Δημοσίου Τομέα
Κατηγορία ΔΕ
«Μαθηματικές Γνώσεις και Δεξιότητες», 10-07-2004
(Γ) Τι Κοινό;
Και οι δύο προβληματίζονται για την ρίζα.
Ο μαθηματικός για την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού.
Η ξανθιά για τη ρίζα των μαλλιών της.
(Α) Η Δεξαμενή Ι
Πηγή: Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου στην Α’ ΤΑΞΗ ΓΕ.Λ, Β’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, Γ’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, Γρίφοι στις 27 Δεκεμβρίου 2021.
(Γ) Τι Κοινό;
Πηγή: https://tsekouratoi.gr/ti-koino-o-mathimatikos-xanthi/