Α) Η Αγορά
Κάποιος αγόρασε χοίρους, γίδες και πρόβατα, συνολικά 100 και πλήρωσε 100 νομίσματα. Οι χοίροι του κόστισαν 3 ½ νομίσματα το κεφάλι, οι γίδες 1 και 1/3 νομίσματα το κεφάλι και τα πρόβατα ½ του νομίσματος το κεφάλι. Πόσα ζώα αγόρασε από κάθε είδος;
(Β) Οι Αριθμοί
Εάν:
4^x+16^y=257 (1)
3^x+9^y=10 (2)
Τότε:
x=?
y=?
(Γ) Ο Όρο;
7, 5, 8, 4, 9, 3, …?
Ποιος είναι ο επόμενος όρος της ανωτέρω ακολουθίας;
«Προτάθηκε από τον Μιχάλη Ζαρτούλα”
A) Αν x οι χοίροι, y οι γίδες & z τα πρόβατα, τότε:
x+y+z=100(1)
7x/2+4y/3+z/2=100(2)
Η (2) γράφεται 21x+8y+3z=600(2)
H (1) γράφεται 21x+21y+21z=2.100(1)
Άρα έχουμε την εξίσωση 13y+18z=1.500(E)
Ας τη λύσουν οι μαθητές.
Β) Οι αριθμοί 4^x και 16^y είναι και οι δύο άρτιοι, εκτός αν ένας από αυτούς ισούται με 1.
Αν ήταν και οι δύο άρτιοι, τότε το άθροισμά τους θα ήταν άρτιος, άρα ένας από τους δύο είναι ίσος με 1. Οπότε η (1) δίνει λύσεις (x,y)=(4,0),(0,2).
H (2) δίνει λύσεις (x,y)=(2,0),(0,1).
Γ) 7-2=5
5+3=8
8-4=4
4+5=9
9-6=3
Άρα 3+7=10 το ζητούμενο.
Παιδιά, οι γρίφοι αυτοί δεν προτάθηκαν από εμένα.
Α.x=χοίροι,y=γίδες,w=πρόβατα
3,5x+4/3y+0,5w=100 με x+y+w=100 με w=100-x-y καταλήγω στην 18x+5y=300 διοφαντική με προφανή λύση (0,60) και λύσεις τους ακέραιους (5t,60-18t).Επειδή 60-18t>0 δοκιμάζω t=1,2,3 και καταλήγω: Για t=1 x=5,y=42,w=53, για t=2 x=10,y=24,w=66 και για t=3 x=15,y=6,w=79.
Γ.10
Λύσεις
Α) Η Αγορά
Το πρόβλημα έχει τρεις λύσεις:
(χ) χ1=5, χ2=10, και χ3=15
(γ) γ1=42, γ2=24, και γ3=6
(π) π1=53, π2=66, και π3=79
Έστω χ οι χοίροι, γ οι γίδες, και π τα πρόβατα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις :
χ+γ+π=100 (1)
7/2χ+4/3γ+1/2π=100 (2)
Μετατρέπουμε τα κλάσματα της (2) σε ομώνυμα κι’ έχουμε
7/2χ+4/3γ+1/2π=100 ==== 3*7χ/6+2*4γ/6+3*1π/6=100
3*7χ+2*4γ+3*1π=6*100 ===== 21χ+8γ+3π=600 (3)
Λύνουμε την (1) ως προς π κι’ έχουμε:
χ+γ+π=100 ==== π=100-(χ+γ) (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:
21χ+8γ+3π=600 ==== 21χ+8γ+3*(100-χ-γ)=600 ====
21χ+8γ+300-3χ-3γ=600 ===== 18χ+5γ=600-300 =====
5γ=300-18χ ===== γ=(300-18χ)/5 (5)
Διερεύνηση:
Η τιμή του “χ” πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίδοντας στο “χ” τις τιμές από το 1 έως το «n» βλέπουμε
ότι οι τιμές που ικανοποιεί τη συνθήκη του προβλήματος είναι
τρεις: χ1 = 5, χ2=10, και χ3=15. Αντικαθιστούμε τις τρεις τιμές του “χ” στη (5) λαμβάνουμε τις τρεις τιμές για τίς γίδες κι’ έχουμε:
γ1=(300-18χ)/5=(300-18*5)/5=(300-90)/5=210/5=42 === γ1=42
γ2=(300-18χ)/5=(300-18*10)/5=(300-180)/5=120/5=24 ===== γ2=24
γ3=(300-18χ)/5=(300-18*15)/5=(300-270)/5=30/5 =6 ===== γ2=6
Αντικαθιστούμε τις τρεις τιμές του χ και τις τρεις τιμές του γ στη (4) κι’ έχουμε:
π1=100-(χ+γ)=100-(5+42)=100-47=53 ==== π1=53
π2=100-(χ+γ)=100-(10+24)=100-34=66 ==== π2=66
π3=100-(χ+γ)=100-(15+6)=100-21=79 ===== π3=79
Επαλήθευση:
χ+γ+π=100 == 5+42+53=100
χ+γ+π=100 == 10+24+66=100
χ+γ+π=100 == 15+6+79=100
21χ+8γ+3π=600 == 21*5+8*42+3*53=600 == 105+336+159=600
21χ+8γ+3π=600 == 21*10+8*24+3*66=600 == 210+192+198=600
21χ+8γ+3π=600 == 21*15+8*6+3*79=600 == 315+48+237=600
Πηγή:
Το ανωτέρω πρόβλημα προέρχεται από το βιβλίο του Leonard Eüler με τίτλο:
«Introduction to the art of calculation, for use in the high schools of the Imperial Academy of Sciences of Saint Petersburg – Εισαγωγή στην τέχνη του υπολογισμού, για χρήση στα γυμνάσια της αυτοκρατορικής Ακαδημίας Επιστήμων της Αγίας Πετρούπολης». Έκδοση 1734 με 1735.
Σημείωση:
Το πρόβλημα ανάγεται στην κατηγορία των «100 πτηνών ή ζώων».
(Β) Οι Αριθμοί
Δύο λύσεις:
x=0 και y=2
x=4 και y=0
Διερτεύνηση:
Οι περριτοί αριθμοί αποκλείονται. Και χ < 5.
(α) Εάν x=0 (1)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
4^x+16^y=257 === 4^0+16^Y=257 === 1+16^y=257 ===
16^y=257-1 === 16^y=256 (2)
Αναλύουμε το 256 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι΄ έχουμε:
256=16*16=16^2
Οπότε η (2) γίνεται:
16^y=256 === 16^y=16^2 και y=2 (2)
(β) Εάν χ=4 (3)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
4^x+16^y=257 === 4^4+16^Y=257 === 256+16^y=257 ===
16^y=257-256 === 16^y=1 και y=0 (4)
Επαλήθευση:
(α) 4^x+16^y=257 === 4^0+16^2=257 === 1+256=257
3^x+9^y=10 ===3^2+9^0=10 === 9+1=10
(β) 4^x+16^y=257 === 4^4+16^0=257 === 256+1=257
3^x+9^y=10 ===3^2+9^0=10 === 9+1=10
(Γ) Ο Όρος
Ο αριθμός 10. Έχουμε διαδοχικές μειώσεις και αυξήσεις.
7-2=5
5+3=8
8-4=4
4+5=9
9-6=3
3+7=10 (?)
@Μιχάλης
Προς τι το σχόλιο της διαμαρτυρίας; Δεν σε κατηγόρησε κανένας για τους γρίφους που τέθηκαν προς λύση. Επάνω αριστερά υπάρχει τ' όνομά μου, ως υπεύθυνο για τους γρίφους. Και όπως το ανέφερα και σε προηγούμενο σχόλιο, οι γρίφοι αναφέρονται για όλες τις βαθμίδες της πρωτοβάθμιας και της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, εφόσον λύνουν μαθητές απ’ όλες τις βαθμίδες και όχι μόνο!!
@Carlo
Δεν ήταν διαμαρτυρία, μην το παίρνεις έτσι. Ποτέ δεν θα ήθελα να κακολογήσω κάποιον.
Απλά έδωσα μία πληροφορία για να ξέρουν οι αναγνώστες ποιος πρότεινε τους γρίφους.
@Μιχάλης
Όπως σου έγραψα και στο προηγούμενο σχόλιο , το ποιος αναρτά γρίφους τίθεται και τ’ όνομά του επάνω αριστερά της ιστοσελίδας. Διαφορετικά, εάν δεν έχει άδεια από αυτόν που έχει την ιστοσελίδα κάτω από τον γρίφο τίθεται η φράση:
“”Προτάθηκε από τον … (τ’ όνομα του θεματοθέτη)”
Α) Από την εξίσωση 13y+18z=1.500(E) είναι: z ≤83, x+y≥17. Από εκεί και πέρα με δοκιμές.