(Α) Το Ερώτημα (Μπουκάλι Κρασί)
Έχουμε ένα μπουκάλι κρασί βουλωμένο με φελλό, έτσι ώστε το επάνω μέρος του φελλού να φτάνει μέχρι το χείλος του μπουκαλιού.
Πως θα πιούμε το κρασί, εάν δεν έχουμε κανένα εργαλείο για να το ανοίξουμε και χωρίς να σπάσουμε το μπουκάλι;
(Β) Οι Τρόποι
Μια εταιρεία μόλις αγόρασε 25 νέα φορτηγά για να τα στείλει στα 5 εργοστάσιά της.
Κάθε εργοστάσιο θα πάρει τουλάχιστον 2 φορτηγά.
Όλα τα φορτηγά είναι ίδια μάρκα, ίδιο μοντέλο και ίδιο έτος.
Με πόσους τρόπους μπορούν να διανεμηθούν τα 25 φορτηγά σε 5 εργοστάσια;
(Γ) Οι Τιμές
Αν οι αριθμοί και τα γράμματα 8, α, 20, β, 32, γ, σχηματίζουν μια αριθμητική ακολουθία, τότε ποιες είναι οι τιμές για το α, το β, και το γ;
Α.Θα πιέσουμε με το χέρι μας το φελλό μέσα στο μπουκάλι.
Γ.2α=8+20,α=14,2β=20+32,β=26,64=26+γ,γ=38
@ΚΔ
Εάν δεν είναι εφικτό να πιέσουμε το φελλό μπρος τα μέσα, τελικά πως θα πιούμε κρασί;
Β. Τα 15 στα 5 εργοστάσια
Με 15 στο κάθε εργοστάσιο 5 περιπτώσεις.Με 14 μαζί και 1 μοιρασμένο 5×4=20 τρόποι. Με 13 μαζί και 2 μοιρασμένα 5×4=20 αν η δυάδα μαζί και 5×6=30 αν είναι 1-1. Με 12 μαζί και 3 μοιρασμένα με 5(διατάξεις 4 ανά 1+διατάξεις 4 ανά 2 + συνδυασμοί 4 αα 3)=100 τρόποι. Με 11-4 με 5(δ4-1+δ4-2+σ4 ανά 2+4×σ3 ανά 2+1)=175 τρόποι. Με 10-5 όμοια με 280, με 9-6 420, με 8 580. Από εκεί και κάτω οι περιπτώσεις έχουν προσμετρηθεί στα προηγούμενα και τελικά οι συνολικοί τρόποι είναι 1630.
Λύσεις:
(Α) Το Ερώτημα (Μπουκάλι Κρασί)
Δοκιμάζουμε πρώτα να πιέσουμε με το δάκτυλο μας το φελλό προς τα μέσα στο μπουκάλι. Εάν αυτό, δεν είναι δυνατόν, τότε κτυπάμε τη βάση του μπουκαλιού πάνω σ’ ένα τοίχο, χωρίς να το σπάσουμε, και παρατηρούμε πως με κάθε κρούση ο φελλός λίγο προς τα έξω μέχρι που ελευθερώνεται.
https://pantsik.blogspot.com/2009/10/blog-post_7350.html
(Β) Οι Τρόποι
Για τα 10 φορτηγά τα 5 εργοστάσια θα πάρουν από 2 φορτηγά το καθ’ ένα.
Άρα, το ερώτημα είναι με πόσους τρόπους μπορούν να χωριστούν τα υπόλοιπα 15 αυτοκίνητα στα 5 εργοστάσια;
Λύση:
Η εξίσωση είναι n + k – 1 C k – 1, όπου n είναι ο αριθμός των αυτοκινήτων (αστέρια) και k είναι ο αριθμός των εργοστασίων (ράβδοι).
Το αποτέλεσμα είναι
(15 + 5 – 1) C (5 – 1) = 19 C 4 = 3.876 τρόποι
https://www.quora.com/A-company-has-just-purchased-25-new-trucks-to-be-sent-to-their-5-factories-Each-factory-will-atleast-get-2-trucks-All-of-the-trucks-are-for-the-same-make-model-and-year-In-how-many-ways-can-the-25-trucks-be
(Γ) Οι Τιμές
Αριθμητική ακολουθία είναι όπου υπάρχει η ίδια απόσταση προσθέτοντας μεταξύ κάθε αριθμού της ακολουθίας.
Μπορούμε να βρούμε τι ισούται με τα a, b και c με τον ρητό αριθμητικό τύπο και την κοινή διαφορά (η περίπου που προστίθεται μεταξύ κάθε όρου της ακολουθίας.
Γενικά μπορείτε να βρείτε την κοινή διαφορά αφαιρώντας τον 2ο όρο από τον 1ο ή τον 3ο από τον 2ο (2 όροι ο ένας δίπλα στον άλλον) αλλά επειδή δεν μας δίνονται όροι που είναι ο ένας δίπλα στον άλλο, μπορούμε να τον βρούμε αφαιρώντας ο 1ος από τον 3ο και στη συνέχεια διαιρώντας αυτήν την απάντηση με το 2. Σε αυτό το πρόβλημα ο 3ος όρος ισούται με 20 και ο 1ος όρος ισούται με 8. Άρα, μπορούμε να το ολοκληρώσουμε ως εξής:
20–8=12 12/2=6
Η κοινή διαφορά είναι 6.
Τώρα που γνωρίζουμε την κοινή διαφορά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον αριθμητικό τύπο για να υπολογίσουμε τι ίσον α, β και γ.
Αυτός είναι ο σαφής τύπος για μια αριθμητική ακολουθία:
aₙ=a1+(n-1)d
Σε αυτήν την εξίσωση, το aₙ είναι ένας άγνωστος όρος στην ακολουθία, ο a1 είναι ο πρώτος όρος στην ακολουθία και το d είναι η κοινή διαφορά.
Το aₙ είναι επίσης ίσο με αυτό που προσπαθούμε να βρούμε που είναι το a ή ο 2ος όρος. Ο πρώτος όρος είναι 8, επομένως μπορούμε να αντικαταστήσουμε το a1 με 8. Ανακαλύψαμε νωρίτερα ότι η κοινή διαφορά είναι 6, επομένως θα αντικαταστήσουμε το d με 6.
Έτσι, ο τύπος θα μοιάζει τώρα ως εξής:
a=8+(2–1)6
Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση θα πρέπει να θυμόμαστε το PEMDAS: Παρενθέσεις, εκθέτες, πολλαπλασιασμός και διαίρεση, πρόσθεση και αφαίρεση.
Άρα πρώτα θα κάνουμε τις παρενθέσεις (2–1)=1
Άρα τώρα έχουμε: a=8+(1)6
Δεν υπάρχουν εκθέτες σε αυτή την εξίσωση, οπότε προχωράμε στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. (1)6=6
Τώρα έχουμε: a=8+6
8+6=14
Άρα a=14
Μπορείτε τώρα να κάνετε το ίδιο πράγμα για τα b και c
(ή μπορείτε απλώς να προσθέσετε 6 στο 20 για το b και στο 32 για το 3) για να βρείτε ότι b=26 και c=38
Ο πλέον συμπληρωμένος αριθμητικός τύπος είναι:
8, 14, 20, 26, 32, 38
Ωστόσο, αυτό δεν είναι το τέλος του προβλήματος, σας ζητείται επίσης να υπολογίσετε το άθροισμα a+b+c.
Ξέρουμε λοιπόν ότι a=14 b=26 και c=38. Άρα α+β+γ=14+26+38
14+26=40
40+38=78
14+26+38=78
Άρα a+b+c=78
https://www.quora.com/If-8-a-20-b-32-c-forms-an-arithmetic-sequence-then-what-is-a-b-c