Από το σύνολο {1,2,3,…,28}, να διαγράψετε δύο αριθμούς που το γινόμενό τους είναι κατά 47 μικρότερο από το άθροισμα των υπόλοιπων 26 αριθμών.
Προτάθηκε από τον Μιχάλη Ζαρτούλα
Ο Γρίφος της Τετάρτης ”Οι αριθμοί”
Από το σύνολο {1,2,3,…,28}, να διαγράψετε δύο αριθμούς που το γινόμενό τους είναι κατά 47 μικρότερο από το άθροισμα των υπόλοιπων 26 αριθμών.
Προτάθηκε από τον Μιχάλη Ζαρτούλα
Aν x,y οι 2 θα είναι xy+47=1+2+…+28-x-y, x+y+xy+1=406-46, (x+1)(y+1)=360. Επειδή x+1<30 θα αναζητήσω διαιρέτες του 360 μικρότερους του 30 και μεγαλύτερους του 12. Δηλαδή x+1=15 ή 18 και y+1=24 ή 20. Τότε x=14 ή 17 και y=23 ή 19 αντίστοιχα.
Ενδεικτική λύση
Έστω ότι διαγράφουμε τους x,y.
Το άθροισμα των 28 αριθμών είναι 1+2+3+…+28=406, άρα ισχύει:
xy=406-(x+y)-47(E)
xy+x+y+1=360(E)
(x+1)(y+1)=360(E)
Αναλύοντας το 360 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι 360=15∙24, άρα τα ζεύγη είναι:
(x,y)ϵ{(14,23),(23,14)}.
Επομένως θα διαγράψουμε το 14 και το 23.
Οι αριθμοί που διαγράφουμε είναι οι 14 και 23 ή 17 και 19.
Έστω α και β οι αριθμοί που διαγράφουμε.
Το άθροισμα των δοθέντων αριθμών ισούται με:
(1+28)+(2+27)+3+26)+…+(14+15)=29*14=406
Βάσει των των δοθέντων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
α*β=406-(α+β)-47 (1)
α*β=406-(α+β)-47 ====> α*β+α+β+1=406-46 (2)
Το πρώτο μέλος της εξίσωσης (2) αποτελεί το ανάπτυγμα του (α+1)*(β+1), οπότε η (2) γίνεται:
α*β+α+β+1=406-46 =====> (α+1)*(β+1)=360 (3)
Αναλύουμε το 360 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
360=2^3*3^2*5=8*9*5
(i) α+1=3*5 ===> α+1=15 ===> α=15-1 ===> α=14
β+1=2^3*3 ===> β+1=8*3 ===> β+1=24 ===> β=24-1 ===> β=23
(ii) α+1=2*3^2 ===> α+1=2*9 ===> α+1=18 ===> α=18-1 ===> α=17
β+1=2^2*5 ===> β+1=4*5 ===> β+1=20 ===> β+20-1 ===> β=19
Επαλήθευση:
α*β=406-(α+β)-47
(α) 14*23=406-(14+23)-47 ===> 322=406-37-47 ===> 322=406-84
(β) 17*19=406*(17+19)-47 ===> 322=406-36-47 ===> 323=406-83
(α+1)*(β+1)=360
(α) (14+1)*(23+1)=360 ===> 15*24=360
(β) (17+1)*(19+1)=360 ===> 18*20=360