Ο Γρίφος της Ημέρας- Η φάρμα

Η Φάρμα

Ο Κώστας έχει στον κήπο του κατσίκια, χοίρους και πρόβατα και το πλήθος των ζώων κάθε είδους ένας διαφορετικός πρώτος αριθμός.  Επίσης γνωρίζουμε ότι:

Το γινόμενο του αριθμού των κατσικιών επί το άθροισμα του αριθμού των χοίρων και του αριθμού των κατσικιών είναι κατά 120 μεγαλύτερο από τον αριθμό των προβάτων.

Να βρείτε τον αριθμό ζώων που έχει στον πανέμορφο κήπο του.

Προτάθηκε από τον Μιχάλη Ζαρτούλα.

6 σχόλια

  1. ΚΔ

    k(x+k)=120+p
    Αν k,x περιττοί τότε το 1ο μέλος άρτιος και πρέπει p άρτιος που σημαίνει p=2. Tότε k(x+k)=122=2*61 κι επειδή k όχι 1 και 2 oδηγούμαστε σε άτοπο. Άρα o ένας από τους k,x άρτιος κι επειδή ο μόνος πρώτος άρτιος είναι ο 2, έχουμε
    1. Αν k=2 τότε άρτιος=περιττός, άτοπο.
    2. Αν x=2 τότε k(k+2)=120+p που για k11 k(k+2)=(k+1)^2-1=120+p ή (k-10)(k+12)=p, άτοπο αφού p πρώτος.

  2. ΚΔ

    που για k=11 είναι 11*13=143=120+p, άρα p=23. Για k11 k(k+2)=….

  3. ΜΙΧΑΛΗΣ ΖΑΡΤΟΥΛΑΣ

    Παραθέτω τη λύση (δικής μου επιμέλειας, αλλιώς θα έγραφα την πηγή)
    1)Έστω x,p,k η ζητούμενη τριάδα, τότε:
    k(x+k)=p+120(Ε).
    Αν x,k,p περιττοί ,τότε x+k άρτιος ,άρα k(x+k) άρτιος ,όμως
    p+120 περιττός, άτοπο. Άρα αναγκαστικά ένας από τους τρεις ισούται με 2. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
    i)κ=2,τότε p+120 άρτιος ,άρα p άρτιος ,δηλαδή p=2 ,άτοπο, εφόσον k≠p.
    ii)p=2,τότε k(x+k)=122 με λύση (x,k)=(59,2), άτοπο, εφόσον k≠p.
    Άρα αναγκαστικά x=2 και κ(κ+2)=p+120(E).
    Η δοθείσα γράφεται: k^2+2k-p-120=0(E).
    Έχει Δ= 4(p+121)και έχει ακέραιες λύσεις, άρα η Δ είναι τέλειο τετράγωνο και αφού το 4 είναι τέλειο τετράγωνο, ο αριθμός p+121 είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή γράφουμε:
    p+121=m^2(Ε) και καταλήγουμε στην εξίσωση:
    p=(m+11)(m-11),όμως p πρώτος ,άρα m-11=1,p=23.
    Τελικά x=2,p=23 και αντικαθιστώντας στην αρχική είναι:
    k(k+2)=23+120(E)με αποδεκτή λύση k=11.
    Άρα ο Κώστας έχει 2 χοίρους, 11 κατσίκια και 23 πρόβατα.
    Συνολικά 36 ζώα.

  4. ΜΙΧΑΛΗΣ ΖΑΡΤΟΥΛΑΣ

    @ΚΔ Ελπίζω να σε κάλυψα και να κατάλαβες το λάθος σου. Για απορίες, ρώτησέ με ό,τι θες.

  5. ΚΔ

    k(x+k)=120+p
    Αν k,x περιττοί τότε το 1ο μέλος άρτιος και πρέπει p άρτιος που σημαίνει p=2. Tότε k(x+k)=122=2*61 κι επειδή k όχι 1 και 2 oδηγούμαστε σε άτοπο. Άρα o ένας από τους k,x άρτιος κι επειδή ο μόνος πρώτος άρτιος είναι ο 2, έχουμε
    1. Αν k=2 τότε άρτιος=περιττός, άτοπο.
    2. Αν x=2 τότε k(k+2)=120+p που για k=11 είναι 11*13=143=120+p, άρα p=23. Για k>11 k(k+2)=(k+1)^2-1=120+p ή (k-10)(k+12)=p, άτοπο αφού p πρώτος.

  6. ΜΙΧΑΛΗΣ ΖΑΡΤΟΥΛΑΣ

    @ ΚΔ
    Όπως πολύ σωστά παραγοντοποίησες, είναι k(k+2)=p+120, άρα (k-10)(k+12)=p(E).
    Εδώ ωραία , εφόσον κάθε πρώτος αριθμός γράφεται ως p=1*p και αφού k+12≥13, θα είναι k-10=1, k=11, p=23.
    Το ότι έγραψες k>11 και κατέληξες σε άτοπο είναι σωστό, ωστόσο θα μπορούσες κατευθείαν να πεις ότι k=11 από την (Ε), αφού είχες αποδείξει πολύ ωραία ότι είναι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. Το λέω για να αποφεύγεις το πολύ γράψιμο.
    Χαιρετώ!!!

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *