Ο Γρίφος της Ημέρας: “Περί Κρουνών Συνέχεια…”

(Α) Η Δεξαμενή Ι

Αρχαίο Κείμενο:

Τῶν πισύρων κρουνῶν ὁ µὲν ἤµατι πλῆσεν ἅπασαν

δεξαµενήν, δυσὶ δ’ οὗτος, ὅ δ’ ἐν τρισὶν ἤµασιν οὗτος,

τέτρατος ἐν τετόρεσσι. Πόσῳ πλήσουσιν ἅπαντες;

Μετάφραση:

Από τους τέσσερις κρούνους Κ1, Κ2, Κ3, και Κ4:

Ο Κ1 γέµισε όλη τη δεξαµενή με νερό σε µία µέρα.

Ο Κ2 γέµισε όλη τη δεξαµενή με νερό σε δύο ημέρες.

Ο Κ3 γέµισε όλη τη δεξαµενή με νερό σε τρειςημέρες.

Και ο Κ4 γέµισε όλη τη δεξαµενή με νερό σε τέσσερις ηµέρες.

Σε πόσο χρόνο ϑα τη γεµίσουν με νερό όλοι µαζί;

(B) Η Δεξαμενή ΙΙ

Μια βρύση/βάνα γεμίζει μια άδεια δεξαμενή νερού σε 12 ώρες ακριβώς.

Μια δεύτερη βρύση/βάνα γεμίζει την ίδια δεξαμενή σε 15 ώρες ακριβώς

Και μια τρίτη βρύση/βάνα μπορεί να την αδειάσει σε 5 ώρες ακριβώς.

Εάν η δεξαμενή είναι κενή και ανοιχθούν ταυτόχρονα και

οι τρεις βρύσες , σε πόσες ώρες  θα γεμίσει η δεξαμενή

) Η Χωρητικότητα

Μία κυλινδρική δεξαμενή έχει πλήρη χωρητικότητα 1 κυβικό μέτρο(1μ^3).

Μια δεύτερη κυλινδρική δεξαμενή έχει την διπλάσια διάμετρο και το διπλάσιο ύψος από την πρώτη δεξαμενή.

Η χωρητικότητα της δεύτερης δεξαμενής είναι:

(α) 2μ^3, (β) 4μ^3, (γ) 6μ^3, (δ) 8μ^3

Πλήρη λύση.

6 σχόλια

  1. ΜΙΧΑΛΗΣ ΖΑΡΤΟΥΛΑΣ

    Α) Σε μία μέρα γεμίζουν τα 1+1/2+1/3+1/4=25/12 της δεξαμενής, άρα όλη θα τη γεμίσουν σε 12/25 μέρες.
    Β) Σε μία ώρα γεμίζουν τα οι δύο γεμίζουν τα 1/12+1/15=3/20 της δεξαμενής κι η άλλη αδειάζει τα 4/20, άρα θα αδειάσει το 1/20 και κατά συνέπεια αν ανοίξουν και οι τρεις βρύσες, η δεξαμενή δεν θα γεμίσει, αλλά θα αδειάσει σε 20 ώρες.
    Γ) Για την πρώτη είναι: π*ρ^2*υ=1μ^3.
    Για την δεύτερη είναι: V=π*(2ρ)^2*(2υ)=4πρ^2*υ=4*1=4μ^3.
    Σημείωση: Εφόσον η δεύτερη έχει διπλάσια διάμετρο, θα έχει και διπλάσια ακτίνα, αυτός είναι και ο λόγος που έγραψα 2ρ.

  2. ΚΔ

    A.Ο K1 σε 1h το 1/24 της δεξαμενής, ο Κ2 το 1/48, ο Κ3 το 1/72, ο Κ4 το 1/96 και όλοι το 1/24+1/48+1/72+1/96=25/288. Το 1/288 γεμίζει σε 1/25h και όλη σε 288/25=11,52h=11h 31,2m=11h 31m 12s.
    B.Επειδή σε 1h γεμίζει το 1/12+1/15=3/20 της δεξαμενής και αδειάζει το 1/5>3/20, δεν θα γεμίσει ποτέ.
    Γ.V=Εβάσης*υ=π*ρ^2*υ=π*δ^2*υ/4, άρα ο V είναι ανάλογος του τετραγώνου της δ και του υ. Όταν διπλασιάζεται η δ ο όγκος τετραπλασιάζεται και όταν διπλασιάζεται το ύψος διπλασιάζεται ο όγκος. Άρα με τις δοσμένες αλλαγές ο όγκος οκταπλασιάστηκε δηλαδή έγινε 8κμ.

  3. ΜΙΧΑΛΗΣ ΖΑΡΤΟΥΛΑΣ

    Sorry, τυπογραφικό.
    Στο Γ) σωστό το 8μ^3.

  4. Carlo Συντάκτης άρθρου

    @ΜΙΧΑΛΗΣ ΖΑΡΤΟΥΛΑΣ
    Η χωρητικότητα της δεύτερης δεξαμενής είναι: 8μ^3. Ξέχασες να πολλαπλασιάσεις το ύψος επί 2.

  5. Carlo Συντάκτης άρθρου

    @ΜΙΧΑΛΗΣ ΖΑΡΤΟΥΛΑΣ
    Η χωρητικότητα της δεύτερης δεξαμενής είναι: 8μ^3. Ξέχασες να πολλαπλασιάσεις το ύψος επί 2.
    Επίσης στην (Β) η δεξαμενή δεν θα γεμίσει ποτέ, εφόσον έχουμε αρνητικό αποτέλεσμα.

  6. Carlo Συντάκτης άρθρου

    Λύσεις:
    (Α) Η Δεξαμενή Ι
    ΄Εστω x τα λίτρα που χωράει η δεξαµενή. Σύµφωνα µε την εκφώνηση έχουµε:
    Ο Κ1: Ρίχνει x λίτρα νερό σε 1 µέρα.
    Ο Κ2: Ρίχνει x λίτρα νερό σε 2 µέρες.
    Ο Κ3: Ρίχνει x λίτρα νερό σε 3 µέρες.
    Ο Κ4: Ρίχνει x λίτρα νερό σε 4 µέρες.
    Οπότε σε µία µέρα οι κρουνοί Κ1, Κ2, Κ3, και Κ4, ϱίχνουν, x, x/2, x/3, x/4 λιτρα νερό αντίστοιχα
    Επομένως όλοι μαζί μέσα σε μια ημέρα ρίχνουν:
    x+x/2+x/3+x/4=1 λίτρα νερό
    Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα κι’ έχουμε:
    (12x+6x+4x+3x)/12=1 ==== 25x=12 ==== x=12/25
    Οι τέσσερις κρουνοί για να γεμίσουν την δεξαμενή χρειάζονται 12/25 της ημέρας, ήτοι 11ώρες 31 λεπτά 12 δευτερόλεπτα:
    Μετατροπή του κλάσματος 12/25 σε ώρες:
    (12/25)*24=288/25=11,52
    Μεττατροπή των 0,52 ώρες σε πρώτα λεπτά:
    0,52*60=31,20
    Μετατροπή των 0,20 λεπτών σε δευτερόλεπτα:
    0,20*60=12,00
    Πρόβλημα του Μητρόδωρου του Σάμιου, από την Παλατινή ή Ελληνική Ανθολογία τέλη 5ου με αρχές 6ου αιώνα μ.Χ.

    (B) Η Δεξαμενή ΙΙ
    Έστω Κ1, Κ2, και Κ3 οι βρύσες/βάνες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
    1/12 + 1/15 – 1/5 = 1/x (1)
    Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα κι’ έχουμε:
    1/12 + 1/15 – 1/5 = 1/x === (5+4-12)/60=1/x ===
    -3/60=1/x === -3x=60*1 === x= – 60/3 === x= – 20
    Αυτό σημαίνει ότι η δεξαμενή δεν θα γεμίσει ποτέ!
    Πηγή:Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου στην Α’ ΤΑΞΗ ΓΕ.Λ, Β’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, Γ’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, Γρίφοι στις 27 Δεκεμβρίου 2021

    (Γ) Η Χωρητικότητα
    Σωστή απάντηση είναι η (δ) 8μ^3.
    Πρώτη Δεξαμενή:
    V1=π*ρ^2*υ=1μ^3 (1)
    Δεύτερη Δεξαμενή:
    V2=π*2*2ρ^2*2υ === V2=π*2*2*2ρ^2*υ === V2=8ρ^2*υ (2)
    Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε:
    V2=8ρ^2*υ === V2=8*1 === V2=8μ^3 (3)
    Πηγή: Α.Σ.Π. – Διαγωνισμός για την πλήρωση θέσεων Δημοσίων Υπηρεσιών και Νομικών Προσώπων του Δημοσίου Τομέα
    Κατηγορία ΔΕ
    «Μαθηματικές Γνώσεις και Δεξιότητες», 10-07-2004

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *