(Α) Η Δεξαμενή Ι
Αρχαίο Κείμενο:
Τῶν πισύρων κρουνῶν ὁ µὲν ἤµατι πλῆσεν ἅπασαν
δεξαµενήν, δυσὶ δ’ οὗτος, ὅ δ’ ἐν τρισὶν ἤµασιν οὗτος,
τέτρατος ἐν τετόρεσσι. Πόσῳ πλήσουσιν ἅπαντες;
Μετάφραση:
Από τους τέσσερις κρούνους Κ1, Κ2, Κ3, και Κ4:
Ο Κ1 γέµισε όλη τη δεξαµενή με νερό σε µία µέρα.
Ο Κ2 γέµισε όλη τη δεξαµενή με νερό σε δύο ημέρες.
Ο Κ3 γέµισε όλη τη δεξαµενή με νερό σε τρειςημέρες.
Και ο Κ4 γέµισε όλη τη δεξαµενή με νερό σε τέσσερις ηµέρες.
Σε πόσο χρόνο ϑα τη γεµίσουν με νερό όλοι µαζί;
(B) Η Δεξαμενή ΙΙ
Μια βρύση/βάνα γεμίζει μια άδεια δεξαμενή νερού σε 12 ώρες ακριβώς.
Μια δεύτερη βρύση/βάνα γεμίζει την ίδια δεξαμενή σε 15 ώρες ακριβώς
Και μια τρίτη βρύση/βάνα μπορεί να την αδειάσει σε 5 ώρες ακριβώς.
Εάν η δεξαμενή είναι κενή και ανοιχθούν ταυτόχρονα και
οι τρεις βρύσες , σε πόσες ώρες θα γεμίσει η δεξαμενή
(Γ) Η Χωρητικότητα
Μία κυλινδρική δεξαμενή έχει πλήρη χωρητικότητα 1 κυβικό μέτρο(1μ^3).
Μια δεύτερη κυλινδρική δεξαμενή έχει την διπλάσια διάμετρο και το διπλάσιο ύψος από την πρώτη δεξαμενή.
Η χωρητικότητα της δεύτερης δεξαμενής είναι:
(α) 2μ^3, (β) 4μ^3, (γ) 6μ^3, (δ) 8μ^3
Πλήρη λύση.
Α) Σε μία μέρα γεμίζουν τα 1+1/2+1/3+1/4=25/12 της δεξαμενής, άρα όλη θα τη γεμίσουν σε 12/25 μέρες.
Β) Σε μία ώρα γεμίζουν τα οι δύο γεμίζουν τα 1/12+1/15=3/20 της δεξαμενής κι η άλλη αδειάζει τα 4/20, άρα θα αδειάσει το 1/20 και κατά συνέπεια αν ανοίξουν και οι τρεις βρύσες, η δεξαμενή δεν θα γεμίσει, αλλά θα αδειάσει σε 20 ώρες.
Γ) Για την πρώτη είναι: π*ρ^2*υ=1μ^3.
Για την δεύτερη είναι: V=π*(2ρ)^2*(2υ)=4πρ^2*υ=4*1=4μ^3.
Σημείωση: Εφόσον η δεύτερη έχει διπλάσια διάμετρο, θα έχει και διπλάσια ακτίνα, αυτός είναι και ο λόγος που έγραψα 2ρ.
A.Ο K1 σε 1h το 1/24 της δεξαμενής, ο Κ2 το 1/48, ο Κ3 το 1/72, ο Κ4 το 1/96 και όλοι το 1/24+1/48+1/72+1/96=25/288. Το 1/288 γεμίζει σε 1/25h και όλη σε 288/25=11,52h=11h 31,2m=11h 31m 12s.
B.Επειδή σε 1h γεμίζει το 1/12+1/15=3/20 της δεξαμενής και αδειάζει το 1/5>3/20, δεν θα γεμίσει ποτέ.
Γ.V=Εβάσης*υ=π*ρ^2*υ=π*δ^2*υ/4, άρα ο V είναι ανάλογος του τετραγώνου της δ και του υ. Όταν διπλασιάζεται η δ ο όγκος τετραπλασιάζεται και όταν διπλασιάζεται το ύψος διπλασιάζεται ο όγκος. Άρα με τις δοσμένες αλλαγές ο όγκος οκταπλασιάστηκε δηλαδή έγινε 8κμ.
Sorry, τυπογραφικό.
Στο Γ) σωστό το 8μ^3.
@ΜΙΧΑΛΗΣ ΖΑΡΤΟΥΛΑΣ
Η χωρητικότητα της δεύτερης δεξαμενής είναι: 8μ^3. Ξέχασες να πολλαπλασιάσεις το ύψος επί 2.
@ΜΙΧΑΛΗΣ ΖΑΡΤΟΥΛΑΣ
Η χωρητικότητα της δεύτερης δεξαμενής είναι: 8μ^3. Ξέχασες να πολλαπλασιάσεις το ύψος επί 2.
Επίσης στην (Β) η δεξαμενή δεν θα γεμίσει ποτέ, εφόσον έχουμε αρνητικό αποτέλεσμα.
Λύσεις:
(Α) Η Δεξαμενή Ι
΄Εστω x τα λίτρα που χωράει η δεξαµενή. Σύµφωνα µε την εκφώνηση έχουµε:
Ο Κ1: Ρίχνει x λίτρα νερό σε 1 µέρα.
Ο Κ2: Ρίχνει x λίτρα νερό σε 2 µέρες.
Ο Κ3: Ρίχνει x λίτρα νερό σε 3 µέρες.
Ο Κ4: Ρίχνει x λίτρα νερό σε 4 µέρες.
Οπότε σε µία µέρα οι κρουνοί Κ1, Κ2, Κ3, και Κ4, ϱίχνουν, x, x/2, x/3, x/4 λιτρα νερό αντίστοιχα
Επομένως όλοι μαζί μέσα σε μια ημέρα ρίχνουν:
x+x/2+x/3+x/4=1 λίτρα νερό
Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα κι’ έχουμε:
(12x+6x+4x+3x)/12=1 ==== 25x=12 ==== x=12/25
Οι τέσσερις κρουνοί για να γεμίσουν την δεξαμενή χρειάζονται 12/25 της ημέρας, ήτοι 11ώρες 31 λεπτά 12 δευτερόλεπτα:
Μετατροπή του κλάσματος 12/25 σε ώρες:
(12/25)*24=288/25=11,52
Μεττατροπή των 0,52 ώρες σε πρώτα λεπτά:
0,52*60=31,20
Μετατροπή των 0,20 λεπτών σε δευτερόλεπτα:
0,20*60=12,00
Πρόβλημα του Μητρόδωρου του Σάμιου, από την Παλατινή ή Ελληνική Ανθολογία τέλη 5ου με αρχές 6ου αιώνα μ.Χ.
(B) Η Δεξαμενή ΙΙ
Έστω Κ1, Κ2, και Κ3 οι βρύσες/βάνες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
1/12 + 1/15 – 1/5 = 1/x (1)
Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα κι’ έχουμε:
1/12 + 1/15 – 1/5 = 1/x === (5+4-12)/60=1/x ===
-3/60=1/x === -3x=60*1 === x= – 60/3 === x= – 20
Αυτό σημαίνει ότι η δεξαμενή δεν θα γεμίσει ποτέ!
Πηγή:Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου στην Α’ ΤΑΞΗ ΓΕ.Λ, Β’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, Γ’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, Γρίφοι στις 27 Δεκεμβρίου 2021
(Γ) Η Χωρητικότητα
Σωστή απάντηση είναι η (δ) 8μ^3.
Πρώτη Δεξαμενή:
V1=π*ρ^2*υ=1μ^3 (1)
Δεύτερη Δεξαμενή:
V2=π*2*2ρ^2*2υ === V2=π*2*2*2ρ^2*υ === V2=8ρ^2*υ (2)
Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε:
V2=8ρ^2*υ === V2=8*1 === V2=8μ^3 (3)
Πηγή: Α.Σ.Π. – Διαγωνισμός για την πλήρωση θέσεων Δημοσίων Υπηρεσιών και Νομικών Προσώπων του Δημοσίου Τομέα
Κατηγορία ΔΕ
«Μαθηματικές Γνώσεις και Δεξιότητες», 10-07-2004