(1) Η Απόδειξη
Σε μία συναυλία παρευρέθηκαν άντρες και γυναίκες που ήταν συνολικά 25.000 άτομα. Κάθε άνθρωπος είχε σκούρα ή ξανθά μαλλιά, μαύρα, καφέ, μπλε ή πράσινα μάτια και ορισμένοι άνθρωποι φορούσαν γυαλιά, ενώ οι υπόλοιποι δεν φορούσαν. Να αποδείξετε ότι υπήρχαν τουλάχιστον 782 άτομα του ίδιου φύλου με ίδια χρώματα μαλλιών και ματιών μεταξύ τους και την ίδια διάγνωση από τον οφθαλμίατρό τους για το αν πρέπει να φοράνε γυαλιά.
(2) Ο Αριθμός
Ο Γιάννης έγραψε στον πίνακα έναν πενταψήφιο αριθμό, όμως κάποιος μαθητής έσβησε τα δύο τελευταία ψηφία. Επίσης γνωρίζουμε ότι:
Ο αριθμός που προέκυψε ήταν κατά 12.662 μικρότερος από τον αρχικό.
Να προσδιορίσετε τον αριθμό που έγραψε ο Γιάννης στην αρχή.
Προτάθηκαν από τον Μιχάλη Ζαρτούλα.
1.Αν υπάρχουν το πολύ 781 άτομα ίδιου φύλου, τότε θα είναι 781*2=1.562 το πολύ άτομα αγόρια και κορίτσια, 1.562*2=3.124 το πολύ άτομα Α και Κ με με ίδια χρώματα μαλλιών μεταξύ τους, 3.124*4=12.496 το πολύ άτομα Α και Κ με με ίδια χρώματα μαλλιών και ματιών μεταξύ τους και 12.496*2=24.992 το πολύ άτομα Α και Κ με με ίδια χρώματα μαλλιών και ματιών μεταξύ τους και την ίδια διάγνωση από τον οφθαλμίατρό τους για το αν πρέπει να φοράνε γυαλιά. Αυτό είναι άτοπο αφού τα άτομα είναι παραπάνω. Άρα υπάρχουν τουλάχιστον 782 άτομα του ίδιου φύλου με ίδια χρώματα μαλλιών και ματιών μεταξύ τους και την ίδια διάγνωση από τον οφθαλμίατρό τους για το αν πρέπει να φοράνε γυαλιά.
2.Aν α,β,γ,δ,ε τα ψηφία 10άδων χιλ.,μονάδων χιλ.,100άδων,10άδων,μονάδων αντίστοιχα ισχύει
10^4*α+10^3*β+10^2*γ+10*δ+ε-12.662=10^2*α+10*β+γ, 9900α+990β+99γ+10δ+ε=12.662
Αν α>=2,αδύνατη.Με α=1 γίνεται 990β+99γ+10δ+ε=2.762 που με β>=3 ή <=1 αδύνατη, άρα β=2.
Τότε 99γ+10δ+ε=782 που με γ=8 αδύνατη, άρα με γ=7 έχω 10δ+ε=89. Για δ<=7 ή =9 αδύνατη άρα δ=8,ε=9 και ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 12.789.
Λύσεις του Μιχάλη Ζαρτούλα.
(1) Η Απόδειξη
Είναι 25.000 άτομα, άρα υπάρχουν τουλάχιστον 12.500 άτομα του ίδιου φύλου, γιατί αν δεν υπήρχαν, τότε ο μέγιστος δυνατός αριθμός ατόμων θα επιτυγχανόταν αν ήταν 12.499 άνδρες και 12.499 γυναίκες , άρα 24.998 άτομα, άτοπο. (1).
Τώρα από τους 12.500 ανθρώπους που ήταν του ίδιου φύλου , τουλάχιστον οι 6.250 είχαν ίδιο χρώμα μαλλιών, γιατί αν δεν ίσχυε αυτό, τότε ο μέγιστος δυνατός αριθμός ανθρώπων του ίδιου φύλου θα επιτυγχανόταν αν ήταν 6.249 με ξανθά μαλλιά και άλλοι τόσοι με σκούρα, άρα 12.498 άτομα, άτοπο.(2).
Επίσης από τους 6.250 ανθρώπους που ήταν του ίδιου φύλου και είχαν ίδιο χρώμα μαλλιών, τουλάχιστον οι 1.563 είχαν το ίδιο χρώμα ματιών, γιατί αν δεν ίσχυε αυτό, τότε ο μέγιστος δυνατός αριθμός ανθρώπων του ίδιου φύλου και του ίδιου χρώματος μαλλιών θα επιτυγχανόταν αν ήταν 1.562 με μαύρα μάτια, 1.562 με καφέ μάτια, 1.562 με πράσινα μάτια και 1.562 με μπλε, άρα 6.248 άτομα, άτοπο.(3).
Οπότε , τελικά από τους 1.563 ανθρώπους που ήταν ίδιου φύλου, με ίδιο χρώμα μαλλιών και ίδιο χρώμα ματιών, τουλάχιστον οι 782 είχαν την ίδια διάγνωση για το αν πρέπει να φοράνε γυαλιά, γιατί αν δεν ίσχυε αυτό, τότε ο μέγιστος δυνατός αριθμός ανθρώπων που ήταν του ίδιου φύλου, ίδιου χρώματος μαλλιών και ίδιου χρώματος ματιών, θα επιτυγχανόταν αν οι 781 φορούσαν γυαλιά και άλλοι τόσοι δεν φορούσαν, άρα 1.562 άτομα, άτοπο.(4).
Έτσι, η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
(2) Ο Αριθμός
Έστω a,b,c,d,k τα ψηφία του αριθμού (με τη σειρά).
Τότε καταλήγουμε στην κατωτέρω εξίσωση:
(10.000a+1.000b+100c+10d+k)-(100a+10b+c)=12.662(E).
Αυτή γράφεται: 9.900a+990b+99c+10d+k=12.662(E).
Έστω m=100a+10b+c τριψήφιος και n=10d+k διψήφιος.
Τότε: 99m+n=12.662(E).
Είναι 10≤n≤99,άρα 126<m<128 ,άρα m=127,n=89.
Άρα στην αρχή είχε γράψει τον αριθμό 12.789.