Μαθη…μαγικά κόλπα με τραπουλόχαρτα, τέλεια ανακατέματα και το δυαδικό αριθμητικό σύστημα.
«Ο τρόπος με τον οποίο ασκώ τα μαθηματικά μοιάζει πολύ με τη μαγεία .Και στις δυο περιπτώσεις έχεις ένα πρόβλημα, που πρέπει να το λύσεις υπό κάποιους περιορισμούς.
Στα μαθηματικά,τ ους περιορισμούς θέτουν τα όρια του λογικού συλλογισμού με βάση τα διαθέσιμα εργαλεία, ενώ στην μαγεία πρέπει να χρησιμοποιήσει τα εργαλεία σου και την επιδεξιότητα σου για να δημιουργήσεις μια συγκεκριμένη εντύπωση χωρίς να καταλάβει το ακροατήριο τι ακριβώς κάνεις. Και στις δυο περιπτώσεις, η νοητική διαδικασία της επίλυσης προβλημάτων είναι περίπου η ίδια. Μια θεμελιώδης διαφορά ανάμεσα στην μαγεία και στα μαθηματικά είναι ο ανταγωνισμός. Στα μαθηματικά, ο ανταγωνισμός είναι πιο έντονος.»
Persi Diakonis στατιστικολόγος του πανεπιστήμιου του Στάνφορντ, πρώην ταχυδακτυλουργός
Έβλεπα στο Numberphile ένα ωραίο τρικ με τραπουλόχαρτα. Εμφανίζεται ένας τύπος, σου δίνει μια τράπουλα και σου ζητά να επιλέξεις τυχαία ένα τραπουλόχαρτο, βάζεις τα δυνατά σου και βγάζεις π.χ τον άσσο κούπα, στην συνέχεια, σου ζητάει να διαλέξεις έναν αριθμό από το 1 μέχρι το 52, εσύ λες π.χ το 27,μετά τον βλέπεις να ανακατεύει την τράπουλα.
Λέει πέντε μπούρδες άμπρα κατάμπρα…μπλα μπλα και ξεκινά να μετρά από την κορυφή της τράπουλας 27 χαρτιά και καταλήγει…το 27ο τραπουλόχαρτο να είναι ο άσσος κούπα.
Λες,«δεν μπορεί κάπου κλέβει ο τύπος». Όμως δεν είναι παρά μόνο μαθηματικά. Ας το πιάσουμε από την αρχή, να το κάνουμε φραγκοδίφραγκα.
Πρώτα να ορίσουμε το τέλειο ανακάτεμα.
Τέλειο ανακάτεμα (Riffle shuffle,Faro shuffle,Perfect shuffle)
Πως γίνεται; Χωρίζουμε την τράπουλα σε δυο ισοπληθείς στοίβες τραπουλόχαρτων (1η,2η) και τα ενώνουμε-με μια εντυπωσιακή κίνηση-σε μια ενιαία στοίβα,τοποθετώντας τα εναλλάξ έτσι ώστε έχουμε τραπουλόχαρτα εναλλάξ 1η ,2η ή τανάπαλιν. (σχήμα)
Δείτε πως γίνεται το τέλειο ανακάτεμα και στο βίντεο.
Ας το δούμε υπό κλίμακα.
Έστω ότι έχουμε 8 τραπουλόχαρτα, θα τα αριθμήσουμε από το 1 μέχρι το 8. Χωρίζουμε τα τραπουλόχαρτα σε δυο στοίβες η μια να αποτελείται από τις κάρτες 1,2,3,4 και η άλλη από τις κάρτες 5,6,7,8.
Τις ενώνουμε σε ένα πάκο και αυτό γίνεται με δυο τρόπους (σχήμα)
Ουσιαστικά, πρόκειται για δυο διαφορετικά ανακατέματα:
-Το πρώτο τραπουλόχαρτο του δεξιού πακέτου καρτών μένει Έξω ως πρώτο φύλλο (σχήμα 1)
-Το πρώτο τραπουλόχαρτο του αριστερού πακέτου καρτών μπαίνει Μέσα ως δεύτερο φύλλο. (σχήμα 2)
Άρα το Μέσα-ανακάτεμα (Μ,Ιn-shuffle) μας δίνει συνολικό πακέτο καρτών 5,1,6,2,7,3,8,4 και το Έξω- ανακάτεμα (Ε,out-shuffle) μας δίνει συνολικό πακέτο καρτών 1,5,2,6,3,7,4,8
Μπορείτε να το δοκιμάσετε και εσείς το σπίτι με μια τράπουλα.
Ερωτήματα
-Αν σε ένα πακέτο 8 τραπουλόχαρτων κάνουμε τέλειο ανακάτεμα τρεις φορές, ποια θα είναι η τελική σειρά του πακέτου;
-Υπάρχει τρόπος με κάποια ακολουθία τέλειων ανακατεμάτων (Μέσα ή Έξω) να μετακινήσουμε το πρώτο φύλο του πακέτου σε όποια θέση του πακέτου μας ζητηθεί;
Κάθε τζογαδόρος που σέβεται τον εαυτό του γνωρίζει ότι αν εφαρμόσει τρεις φορές τέλειο ανακάτεμα (Έξω) στο πακέτο των 8 τραπουλόχαρτων θα επανέλθει στην αρχική του θέση.
Για την τράπουλα των 52 χαρτιών απαιτούνται 8 τέλεια Έξω ανακατέματα (Out-shuffles) για να επανέλθει στην αρχική της θέση.
Ειδικότερα,ο αριθμός των έξω ανακατεμάτων (out_shuffles) που απαιτούνται για να επανέλθει μια τράπουλα ν χαρτιών με ν=2,4,6, 8,10,12,14,16,…είναι αντίστοιχα 1, 2, 4, 3, 6, 10, 12, 4, 8, 18, 6, 11,… (OEIS A 002326). Αρκεί, το υπόλοιπο της διαίρεσης του 2ν με το ν-1 να ισούται με 1.
Επίσης έχει αποδειχθεί ότι αν θέλουμε να μεταφέρουμε το πρώτο χαρτί στην κ θέση τότε η ακολουθία μέσα ,έξω τέλειων ανακατεμάτων της τράπουλας έχει άμεση συνάφεια με την γραφή του κ στο δυαδικό αριθμητικό σύστημα.
Συμβολίζουμε το Μέσα-ανακάτεμα με 1 και το Έξω-ανακάτεμα με 0 και θα διαβάζουμε την ακολουθία των τέλειων ανακατεμάτων που γίνονται από αριστερά προς τα δεξιά.Για παράδειγμα, αν δοθεί 110 αυτό σημαίνει ότι εφαρμόζεται στην τράπουλα δυο φορές μέσα ανακάτεμα και μια φορά έξω .
Συμβολίζουμε τις θέσεις των 8 χαρτιών στην τράπουλα από πάνω προς τα κάτω με 0,1,2,3,4,5,6,7
Κατασκευάζουμε ένα πίνακα με δυο στήλες,στην πρώτη στήλη η θέση στην οποία θέλουμε να στείλουμε την πρώτη κάρτα με την ακολουθία ανακατεμάτων και στην δεύτερη αυτή η ακολουθία.
Παρατηρείτε τίποτα; Ο αριθμός στην δεύτερη στήλη είναι η γραφή του αντίστοιχου στην πρώτη στήλη στο δυαδικό αριθμητικό σύστημα.
Άρα, για να βρούμε την κατάλληλη ακολουθία ανακατεμάτων αρκεί να επιλέξουμε την θέση που μας ενδιαφέρει να μετακινήσουμε το πρώτο τραπουλόχαρτο και να την μετατρέψουμε στο δυαδικό σύστημα.
Η τεχνική ισχύει για οποιοδήποτε μέγεθος τράπουλας.
Τα παραπάνω, τα απέδειξε τo 1983 ο Persi Diakonis-πατριωτάκι από το πανεπιστήμιο του Stanford-σε συνεργασία με άλλους δυο διακεκριμένους μαθηματικούς, R,L,Graham,William M.Kantor.Τον Diakonis τον έχουμε συναντήσει και στο παρελθόν (http://mathhmagic.blogspot.gr/2014/08/blog-post_24.html )
Οπότε, πως γίνεται το κόλπο στο βίντεο; Το θύμα επιλέγει το τραπουλόχαρτο, εμείς το βάζουμε πρώτο και μπορούμε με την παραπάνω μέθοδο να το μετακινήσουμε σε όποια θέση θέλουμε.
Περαιτέρω αναφορές
▪The mathematics of perfect shuffles,Persi Diaconis, R,L,Graham,William M.Kantor,Advances in Applied mathematics 4,(1983)
Ηλεκτρονικός σύνδεσμος:
Ο Diaconis με τον Graham έγραψαν και ένα σχετικό βιβλίο που παρουσιάζουν μαγικά τρικ με τραπουλόχαρτα μαζί με το σχετικό μαθηματικό υπόβαθρο:
▪Magical Mathematics:The Mathematical Ideas That Animate Great Magic Tricks, εκδόσεις Princeton university press (2012)
Δείτε και τα παρακάτω βίντεο με τον Diaconis
